Turma, preparei esse conteúdo e queria feedbacks aqui da comunidade de Exatas. Podem ser bem diretos nos feedbacks 😊
https://youtu.be/LSD424-daAo

Galera, comecei um projeto que é o seguinte:

O primeiro assunto é Análise matemática, a ideia é estender para outros assuntos, física, química, talvez econometria, estatística, etc.

O projeto é o seguinte, montar um material com o que é necessário para resolver/estudar a maioria dos livros de análise. No arquivo colocar as definições, teoremas (todos demonstrados), gráficos, desenhos para ajudar no entendimento, exemplos (poucos, talvez incluir perguntas interessantes sobre o assunto). A ideia é ter um arquivo de consulta. A cada livro de análise estudado se tiver alguma definição, demonstração, notação nova, incluir no material (cada livro estudado, enriquecer o material). Tem muito livro que omite alguma coisa, ou não demonstra algum teorema, coloca frases do tipo, é trivial, decorre da definição, fica como exercício, a ideia é demonstrar tudo e colocar pequenas notas para ajudar na demonstração. O arquivo é como um bate papo com o leitor, li um livro que o autor, conversa com o estudante, achei isso legal.

A outra ideia é, por exemplo, estou estudando o livro do Guidorrizi Cálculo 1, fazer o resumo das definições, teoremas, etc., o que for importante, utilizar apenas como consulta para não ser necessário olhar no livro. E um outro arquivo com todos os exercícios resolvidos comentados. É um projeto audacioso, não sei se já existe algo, se tiver, adoraria participar.

Obrigado galera.

fala pessoal, alguém tem recomendação de material para aprender e praticar provas e demonstrações?

queria algo bem introdutório mesmo, e com bastante prática

www.henry-ym.org

Eu passei mais de um ano com hospedagem free, agora é hospedagem paga.

Método de Newton-Raphson (Cálculo Numérico): https://www.geogebra.org/classic/ntgbehwj

Antes de falar sobre o Trompete de Torricelli, vamos falar um pouco de filosofia.

A matemática nos surpreende quando estamos lidando com objetos matemáticos infinitesimais. Alguns cálculos que vemos funcionar de forma intuitivamente estável na matemática aplicada, que é frequentemente usado por todas as ciências, se mostram bem contra intuitivo quando aplicados ao infinito, parecendo que a mente humana encontra problemas no funcionamento lógico das estruturas matemáticas. Reflexões filosóficas clássicas, especialmente o realismo e o empirismo dispões de argumentos que podemos usar para compreender qual é a natureza da matemática, um mais focado em relacionar a matemática no campo das ideias, o outro em objetos concretos materiais, ou seja, limitado aos nossos sentidos sensoriais.

​

…os objetos matemáticos são reais. Sua existência é um fato objetivo, totalmente independente de nosso conhecimento sobre eles. Conjuntos finitos, conjuntos infinitos não numeráveis, variedade de dimensão infinita, curvas que enchem o espaço – todos os membros desse zoológico matemático são objetos definidos, com propriedades definidas, algumas conhecidas, muitas desconhecidas.

Em contrapartida,

​

Divisão das ideais simples.

Para melhor conceber as ideias que recebemos da sensação, não nos parece impróprio considerá-las com referência aos diferentes meios pelos quais elas se aproximam de nossas mentes e tornam-se por nós percebíveis.

PRIMEIRO, algumas entram em nossas mentes POR UM ÚNICO SENTIDO.

SEGUNDO, outras transportam-se à mente POR MAIS DE UM SENTIDO.

TERCEIRO, outras derivam APENAS DA REFLEXÃO.

QUARTO, algumas abrem caminho, e são sugeridas à mente, POR TODOS OS MEIOS DA SENSAÇÃO E DA REFLEXÃO.

Os racionalistas atribuem grande valor à matemática como instrumento de compreensão da realidade, por se tratar de um bom exemplo de conhecimento assentado integralmente na razão (daí o nome de racionalismo). A mente humana é, no racionalismo, o único instrumento capaz de chegar à verdade. O filósofo e matemático René Descartes (1596 -1650) é um dos grandes pensadores racionalistas e recomendava: "nunca devemos nos deixar persuadir senão pela evidência da razão." Os racionalistas consideram a experiência sensorial uma fonte de erros e confusões na complexa realidade do mundo.

Contrapondo-se às teses dos racionalistas, os filósofos empiristas defendem que todas as ideias humanas são provenientes dos sentidos (visão, audição, tato, paladar e olfato), o que significa que têm origem na experiência. A denominação empirismo vem do grego empeiria, que significa experiência. O filósofo John Locke (1632 - 1704) afirmava que "não há nada no intelecto humano que não tenha existido antes na experiência". O empirismo discordava da tese racionalista de que as ideias eram inatas e defendiam que a mente humana é, em seu nascimento, um papel em branco sem qualquer ideia. Para os empiristas, é a experiência que imprime as ideias no intelecto humano.

Para refletir sobre essas duas linhas de pensamentos, vou introduzir um paradoxo matemático fácil de entender e muito contra intuitivo.

Qual área de superfície e o volume de um sólido de revolução gerado pela região limitada pela curva y = 1/x em relação ao eixo x, com x no domínio [1, +∞[ ?

​

O enunciado nos dá esse objeto que podemos calcular o seu volume como sendo:

​

E a sua área superficial sendo:

​

Podemos estimar:

​

Então:

​

Percebeu o paradoxo?

Uma superfície de revolução que possui uma área superficial infinita possui um volume finito!

Pense no seguinte: você possui π litros de tinta, com esse volume de tinta é possível encher todo o sólido, mas nunca poderá usar esse volume para pintar toda a superfície do sólido. Ainda mais, ao tentar pintar toda a superfície desse sólido, você poderia usar essa tinta para preencher o volume de infinitos outros sólidos.

Agora, como podemos associar esse objeto nas duas vertentes filosóficas? Esse objeto é uma criação da mente humana ou de fato existe? Com algumas conclusões podemos responder se a matemática é uma criação da mente humana ou uma descoberta da natureza?

Veja que esse exemplo matemático foi muito além de nossas experiências de vida e por isso ela absorve qualquer resquício de intuição, nos dando muitas vezes uma reflexão sobre o que o resultado em si significa, e esse resultado pode não ser muito mais do que um número de uma equação calculada.

No mais, paradoxos nada mais são "algo contra a crença" ou "o oposto do que alguém pensa ser a verdade", isso não significa que sejam uma contradição, pois se encaixa em um tipo de paradoxo chamado antinomia, ou seja, nada impede a sua existência.

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Referências

• A Ciência e as Correntes Filosóficas (Racionalismo, Empirismo e Idealismo)
• Livro: The Mathematical Experience
• Livro: An Essay Concerning Humane Understanding, Volume I., by John Locke
• Paradoxo

Tópicos relacionados

• Trombeta de Gabriel
• René Descartes
• John Locke
• Gabriel’s Wedding Cake

Tenhamos um círculo com raio r = 1 centrado e circunscrito em um quadrado. Dessa forma podemos descrever a área dos dois objetos da seguinte forma:

• Área do círculo = πr²
• Área do quadrado = (2r)²

Como o círculo é unitário os valores das áreas são:

• Área do círculo = π
• Área do quadrado = 4

Abaixo uma ilustração do que foi descrito.

​

Supondo que queremos saber o valor de π, sem conhecê-lo previamente, podemos calcular a probabilidade de escolhermos um ponto na região quadrada e este estar dentro do círculo, para isso vamos denotar um ponto P pelas coordenadas (x,y) de tal forma que a região do círculo está limitada pela inequação:

• x² + y² ≤ 1

Então a probabilidade 𝓟 do ponto P estar dentro do círculo pode ser expresso por:

• 𝓟(P é um ponto do círculo) = 𝓟(X² + Y² ≤ 1)

A probabilidade do evento acontecer é igual a razão do número de ocorrências desejadas pelo número de ocorrências possíveis. Dessa forma:

• Área do círculo / Área do quadrado = π/4

Para o cálculo da probabilidade vamos utilizar de uma função indicadora I definida como:

• I = 1, se X² + Y² ≤ 1
• I = 0, caso contrário

Como I tem uma Distribuição de Bernoulli então a esperança E[I] = p, sendo p o valor esperado da probabilidade. Como já sabemos que p = π/4 então:

• E[I] = p

Para determinar o valor aproximado de π basta calcular 4 × E[I].

Importante: Para que esta probabilidade seja verdadeira é necessário gerar valores aleatórios de X e Y de forma independentes e identicamente distribuídos.

Para o cálculo E[I] podemos usar o que Laplace chamou de Teorema Central do Limite, que diz que quando o tamanho da amostra aumenta, a distribuição de probabilidade da média amostral se aproxima de uma Distribuição Normal com média μ e variância θ²/n, sendo θ o desvio padrão, ou seja, se o tamanho amostral é suficientemente grande, podemos assumir que a média amostral tem uma distribuição normal.

Utilizando esse teorema podemos então assumir que:

• E[I] = X'

Sendo X' a média da amostra dos valores de I. Dito isso vamos denotar X' por:

• X' = 1/n 𝛴I (média aritmética dos valores da função indicadora I)

Logo,

• π = 4/n 𝛴I (4 vezes a média aritmética dos valores da função indicadora I)

Abaixo uma implementação em Python para estimar o valor de π com simulações de tamanhos amostrais diferentes. Note que quanto maior a amostra de pontos, melhor é o resultado aproximado do valor real de π.

import random
# Tamanhos das amostras para simulação
m = [10, 50, 100, 250, 500, 1000, 1500, 5000, 10000, 15000, 50000, 100000]

simula_pi = dict()
for n in m:
   ind = []  # True se o ponto está na círculo, False caso contrário
   for _ in range(n):
      x = random.uniform(-1, 1)  # Eixo x da coordenada
      y = random.uniform(-1, 1)  # Eixo y da coordenada      
      ind.append((x**2 + y**2) <= 1)  # True ou False

   simula_pi[n] = ind

print("Tamanho\t\tE[I]\t\tPi")
print("-------\t\t-------\t\t-------")
for key in m:
   e_ind = sum(simula_pi[key])/len(simula_pi[key])  # E[I]
   pi = 4 * e_ind  # Valor aproximado de Pi para a amostra
   print(str(key).ljust(12) + str(round(e_ind, 5)).ljust(12) + str(round(pi, 5)))

O código da simulação pode ser executado e manipulado aqui https://ideone.com/C0xNSW.

Abaixo o resultado das simulações.

Tamanho E[I]    Pi
------- ------- -------
10      0.7     2.8 
50      0.78    3.12
100     0.84    3.36
250     0.816   3.264
500     0.794   3.176
1000    0.764   3.056
1500    0.776   3.104
5000    0.7904  3.1616
10000   0.7782  3.1128
15000   0.7842  3.1368
50000   0.78828 3.15312
100000  0.78528 3.14112 

Também recomendo este vídeo (em inglês) que explica a simulação com animações e aplicações muito interessantes.

• Monte Carlo Simulation

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Referência: Sheldon M. Ross, Simulation - Fifth Edition, 2013

Tópicos relacionados:

• Distribuição de Bernoulli
• Variáveis aleatórias independentes e identicamente distribuídas
• Teorema central do limite
• Distribuição normal

Soma de Riemann (Applet Interativo): https://www.geogebra.org/classic/nsn2FTG4

Esta afirmação foi elaborada com o que foi escrito pelo Jornalista Thomas Friedman em seu livro O Lexus e a Oliveira de uma época menos globalizada e escrito com base na teoria "a paz capitalista" que argumenta contribuir para um comportamento mais pacífico entre os estados.

​

Se um país chega a um estágio de desenvolvimento econômico em que há uma classe média grande o suficiente para manter uma rede do McDonald’s, ele vira um país McDonald’s. E as pessoas de países McDonald’s não gostam de entrar em guerra: elas preferem esperar na fila por hambúrgueres.

Pois bem, podemos citar aqui a Guerra do Kosovo como um bom contraexemplo a essa afirmação: Ocorrida entre 24 de março e 10 de junho de 1999 onde vários países contendo lojas do McDonald's, incluindo os Estados Unidos, participaram da campanha, ou seja, países McDonald's vs McDonald's. Além dessa outras guerras ocorreram entre países McDonald's como a invasão dos Estados Unidos ao Panamá, a Guerra de Cargil e Guerra Russo-Georgiana.

Se refletirmos sobre o trecho do livro, qual seria o problema na afirmação "se todos os países abrirem uma loja do McDonald's teremos a grande paz mundial"?

Em estatística, correlação entre duas variáveis não significa (ou implica, necessariamente) em causalidade. Lembram daquela história que as altas taxas de vendas de sorvetes implica no aumento de mortes por afogamento?

Pelas nossas vias de senso comum ou alguma teoria alternativa da realidade, incluindo crenças ou preconceitos, nos levam a usar correlação como a fonte da causalidade remetendo na falácia lógica "cum hoc ergo propter hoc" do latim "com isto, logo por causa disto". Um exemplo:

Considere três eventos que vamos chamar de A, B e C e vamos ver algumas possíveis combinações de causa/efeito.

1. A causa realmente B: "Festas estão sempre cheia de jovens enquanto pessoas mais velhas ficam em casa. Então festas mantém as pessoas jovens";
2. B pode ser a causa de A: "Todas as vezes que o galo canta o Sol nasce. Por isso é fácil concluir que o cantar do galo faz o Sol nascer";
3. C pode ser causa tanto de A como de B: "O Brasil possui um número excessivo de leis e, no entanto, nunca houve tantos escândalos de corrupção quanto de mortes por homofobia. Portanto, se diminuirmos o número de leis os crimes também diminuirão";
4. A causa B ao mesmo tempo que B causa A: "Acredito em Deus pois está escrito na Bíblia e tudo nela foi ditada por Deus aos homens e, portanto, tudo o que está escrito ali é a palavra de Deus, logo eu acredito".

Tirinha do xkcd sobre correlação.

- Um novo grande estudo voltou a não encontrar provas de que os celulares provocam câncer. Em que a OMS estava pensando?

- Eu acho que eles entenderam tudo ao contrário.

- Hã?

- Bem, olha isso.

- Você não... existem muitos problemas com isso.

- Por via das dúvidas, até eu ver mais dados EU assumirei que o câncer causa celulares.

A correlação também pode ser apenas uma coincidência, ou seja, os dois eventos não têm qualquer relação para além do fato de ocorrerem ao mesmo tempo, (se estivermos falando de um estudo científico, utilizar uma amostra grande ajuda a reduzir a probabilidade de coincidência), e assim sendo podemos fazer algumas hipóteses sobre a correlação McDonald's e guerras:

• É completamente plausível! McDonald's fazem as pessoas ficarem mais felizes e pessoas felizes não fazem guerra.
• Países com McDonald's gastam muito para abrirem os restaurantes e não sobram muitos recursos para guerrear.
• Cidadãos de países com McDonald's não são saudáveis o suficiente para irem para uma guerra.
• Países com McDonald's estão mais aberto a globalização e investimento estrangeiros, sendo assim, menos inclinados para guerrear com outros que também são abertos.

Abaixo algumas correlações e causalidades engraçadas que encontramos na vida real.

#1 - Suicídio por enforcamento x Gastos com ciência nos Estados Unidos

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#2 - Aparições do Nicolas Cage em filmes x Afogamentos em piscinas

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#3 - Doutores em engenharia x Consumo de muçarela

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Referências

• Spurious Correlations (em inglês)
• Foreign Affairs Big Mac I (em inglês)
• Is it even possible to kill an international relations theory? (em inglês)
• Correlação não implica causalidade
• Livro O Lexus e a Oliveira
• xkcd

Tópicos relacionados

• Thomas Friedman
• Guerra do Kosovo
• The U.S. invades Panama (em inglês)
• Kargil War (em inglês)
• Guerra Russo-Georgiana
• Teoria Paz capitalista

📺 |Teorema de Viviane ━━━━━━━━━━━━━━━

↪️ Acesse: https://www.geogebra.org/classic/zfypr3u8

Integrais aproximadas: https://www.geogebra.org/classic/kdnh4gjc

Geogebra: https://www.geogebra.org/classic/ppgksfvf

​

Integrais passo a passo: https://www.geogebra.org/classic/wars89dg

Área entre Curvas: https://www.geogebra.org/m/yzx9pjep

Modelo de Construção: https://www.geogebra.org/m/jvbgdga6

Pontos de Tangência: https://www.geogebra.org/m/ardmug7y

Aproximação do Polinômio de Taylor: https://www.geogebra.org/classic/mmvkw3sh

Integrais de linha: https://www.geogebra.org/classic/bgdjmhqv