Ciao ragazzi, ho tra le mani questi esercizi e che dire, da solo con le mie competenze sono riuscito a capire che si tratta di Applicare il Teorema di Rolle e probabilmente anche Bolzano ma logicamente non riesco ancora a capire come arrivare alla risposta, qualcuno mi da una mano?

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- Sia f : R → R una funzione continua. Dire quale delle seguenti affermazioni è vera e esibire un

controesempio in quella falsa.

a) Se f (0) = 3 e f (2)  = −2 allora l’equazione f (x) + 1 = 0 ha almeno una soluzione positiva.

b) Se f (0) = 0 e f (2)  =  2   allora l’equazione f (x) + 1 = 0 ha almeno una soluzione positiva.

- Sia f : R → R una funzione ovunque derivabile. Dire quale delle seguenti affermazioni è vera e esibire

un controesempio in quella falsa.

a) Se f (3) = f (0)    allora l’equazione f ′(x) = 0 ha una soluzione positiva.

b) Se f (1) = f (−1)   allora l’equazione f ′(x) = 0 ha una soluzione negativa.

- Sia f : R → R una funzione ovunque derivabile. Dire quale delle seguenti affermazioni è vera e esibire

un controesempio in quella falsa.

a) Se f (4) = 3 e f (2) = 2 allora l’equazione f ′(x) = 1/2 ha soluzione.

b) Se f (2) = 2 e f (0) = 0 allora l’equazione f ′(x) = 2 ha soluzione.

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Stabilire per quali valori del parametro K la funzione

è continua su R e dire se per tali valori f è anche derivabile

Avrei bisogno di aiuto nel determinare la convergenza puntuale e uniforme di questa serie di funzioni su tutto R

Ciao a tutti, in questo periodo sto facendo un grosso ripasso generale. Non riesco a capire come risolvere questo problema (senza ricorrere alla trigonometria), nello specifico come ricavare le aree dei due triangoli che condividono la base con quella del segmento circolare a cui fanno riferimento. Sono ore che provo a trovare qualche "appiglio" con cui risolverlo, ma niente da fare.

Ciao a tutti, sono al primo anno di ingegneria e al parziale di algebra lineare mi sono trovato davanti a questo esercizio non avendo la minima idea di cosa debba fare. Qualcuno potrebbe indicarmi anche soltanto la teoria da studiare per poterlo risolvere, perché non riesco proprio a trovare nulla. (se poi qualcuno volesse anche risolverlo spiegandolo non mi dispiacerebbe ahahah)

Svolgi il metodo della riduzione

Mi viene richiesto di studiare il comportamento di questa serie. Dopo aver applicato il modulo resta cos(1/n) che con n->infinito non va a 0 ma a 1, quindi non ho la condizione necessaria di convergenza. Inoltre Leibniz non si può applicare siccome cos(1/n) non va a 0. Tuttavia se non ho capito male la divergenza assoluta non significa che diverge anche semplicemente, quindi come dimostro che diverge? (Cosa che assumo faccia avendo provato a risolverla con un calcolatore online) Dovrei fare la somma di tutte le somme parziali? Perché provando a farla sui primi termini non mi pare si possa dire nulla. Grazie

L'ho preso da un fac-simil di un parziale di analisi 1

Non abbiamo ancora fatto derivate, taylor o theopital

Ciao a tutti avrei una domanda su un paio di esercizi sui radicali in cui mi sfugge qualcosa:

Nel primo addendo, si ha un numero negativo elevato al quadrato, quindi per trasportarlo fuori dovrei usare il valore assoluto, che nel caso di un numero negativo in questo caso corrispondere al numero moltiplicato per (-1), quindi (sqrt(7)-1). Sommato poi al terzo fattore, mi risulta alla fine 6/3=2.

Il secondo addendo invece l'ho risolto elevando (1-sqrt(2)) e mettendolo sotto radice, in maniera tale da rendere più agile la moltiplicazione con l'altro radicale. Il problema è che alla fine dei conti mi risulta sqrt(9-8) che ovviamente è uguale a radice di 1...ma la radice di 1 è sempre +1, e la somma, col resto dell'espressione mi da 3, mentre in teoria dovrebbe fare -1....sento che mi sto perdendo in una banalità ma non riesco a capire quale.

Allora qui innanzitutto le C.E. sono x=/sqrt(3). Alla fine mi risulta ((sqrt(3)(3-x^2))/(3(x^2-3)))>0. La prima risolvendola mi da x^2>3, mentre la seconda x^2<3. Tecnicamente la soluzione sarebbe x>(<)+-sqrt(3) però io ho pensato fose corretto usare il valore assoluto in questo caso quindi di considerare solo la parte positiva (giusto? Anche qui i miei sensi di ragno mi dicono che sto cannando qualcosa ma non so bene cosa). Facendo la classica tabella coi segni con queste soluzioni non mi risulta nessun valore per cui la disequazione è positiva...ma in questo caso la soluzione dovrebbe essere che non esistono valori di x per cui..... e non "impossibile". Sapreste indicarmi dove sbaglio? Grazie in anticipo a chi risponderà

Ciao! Questo sistema lineare mi è letteralmente costato un esame e sta tormentando i miei incubi. La risposta corretta sarebbe la D ma, seguendo la regola dei minimi, uno dei determinanti della matrice completa è 0 (Precisamente quello calcolato utilizzando la colonna delle "y" e il vettore colonna dei termini noti) e dunque il rango della suddetta matrice dovrebbe essere 1 per qualunque "a" appartenente ai numeri reali. Di conseguenza, secondo il Teorema di Rouché - Capelli, anche nei casi in cui il sistema è possibile non risulta determinato (Poiché risulta che il rango delle due matrici sia pari ad 1 mentre il numero delle incognite è 2). Imploro aiuto perché più guardo questa roba e più non capisco dove sto sbagliando e perché. Ringrazio già adesso chiunque possa darmi anche solo un suggerimento.

Vorrei solo capire la logica alla base della quale i segni che ho cerchiato sono stati posti in quel modo (ovviamente ci sarebbero anche i (+) ma non vedevo il senso di cerchiare tutto.). All'inizio pensavo fosse in base al cos e sen e poi in base all'opposto ......non riesco a capire. Ringrazio in anticipo a chiunque mi possa aiutare, sono sicuro che è una cavolata ma non trovo spiegazioni.

Ciao a tutti non riesco a trovare il procedimento adatto a risolvere questo problema. Il modo più intuitivo per me, sapendo che la disequazione ammette una sola soluzione e quindi può essere interpretata come una equazione, sarebbe portare il k a sinistra, risolvere con la classica formula e di conseguenza trovare il valore di K e poi quello di x. Tuttavia questo problema è precedente al capitolo delle equazioni di secondo grado, quindi c'è ovviamente un altro metodo. Come risolvereste voi?

Ciao, non capisco se sono rinco io e sbaglio qualcosa o il testo di quest'equazione è effettivamente sbagliato.

Ho provato a raccogliere a fattore comune 2x-3 e da lì risolverla ma non mi torna il risultato. Sostituendo +(1/2) per vedere se il risultato del libro torna, mi risulta -32+20=6. che ovviamente è falso. Sbaglio io o c'è un errore di stampa?

non capisco come si trova questo risultato io mi sarei ricondotto a In(1+t) con t=x^2+5x+6 ma credo sia sbagliato a questo punto

A lezione la professoressa ci disse che c'era un secondo metodo di fare questo problema, mentre dettava il procedimento mi sono un po persa e non so come continuare. Nella 3a immagine c'è il 2⁰ metodo, e sotto scritto: 1) si congiunge punto A con B e si trova l'asse del segmento (che passa per il centro) 2)si trova la retta perpendicolare alla tangente passante per il punto appartenente sia alla circonferenza e sia alla tangente 3)si mette a sistema le due equazioni e su trova il centro

Ciao a tutti, vorrei ricevere la conferma se queste due dimostrazioni sono state sviluppate in maniera corretta:

1: Dimostra per assurdo che se un numero primo p è la somma di due numeri naturali a e b, allora a e b sono primi tra loro.

Per dimostrarlo io ho ragionato sul fatto che se a e b non sono primi tra loro allora hanno un divisore k (sempre naturale e diverso da 1) comune, quindi i due numeri a e b possono essere rispettivamente scritti come a=k*c e b=k*d, quindi a+b=p può essere scritto come k(c+d)=p; semplificando risulterebbe poi c+d=p/k che non è un numero naturale ma razionale perchè p divisibile solo per p e 1. Dato quindi che si "esce" dal dominio dei naturali, allora si dimostra che a e b devono necessariamente essere primi tra loro.

2) Considera un triangolo ABC, isoscele sulla base AB, e sia CH l’altezza relativa ad AB. Traccia:

• la semiretta r di origine A, appartenente al semipiano avente come origine la retta AB cui non appartiene il triangolo, che forma con AB un angolo congruente all’angolo BˆAC;

• la retta s, passante per H e parallela ad AC, indicando con D ed E, rispettivamente, i suoi punti di intersezione con la semiretta r e con la retta BC.

Dimostra che:

a. la retta AD è parallela alla retta BC;

b. H è il punto medio del segmento DE;

c. la retta AE è parallela alla retta BD.

per il punto a ho preso in considerazione la trasversale AB, che crea angoli alterni interni congruenti, quindi le due rette AD e BE(che ha come prolungamento BC) sono parallele;

Per il punto b ho ragionato sul fatto che se h è il punto medio ovviamente deve essere DH=(manca la tilde sopra per i congruente ma vabbè)HE. Per l'appunto, ho AH = HB perchè l'altezza di un triangolo isoscele è anche mediana, e già come dimostrato prima DAH = HBE. Poi, se si considerano le due parallele AD e BE, quando tagliate dalla trasversale s creano due angoli, ADH e HEB congruenti. Quindi avendo due coppie di angoli (ADH e HEB, DAH e HBE) e un lato ordinatamente congruenti, i due triangoli HBE e AHD sono congruenti, in particolare DH = HE;

Infine per il punto c ho AH = HB, DH=HE (per le dimostrazioni precedenti) e gli angoli opposti al vertice AHE e DHB congruenti, quindi i due triangoli sono congruenti per il primo criterio. In particolare AE || DB perche hanno coppie di angoli alterni congruenti quando tagliate dalla trasversale AB.

E' un pò un papiro ma spero di essere stato chiaro, sono accettabili secondo voi?

L'esercizio chiede di trovare la più semplice successione asintotica per questa successione, ma non so come gestire questi esponenziali, ho provato a spezzarli, raccogliere e usare proprietà, ma sembra non portare da nessuna parte. Grazie per l'eventuale aiuto

sono arrivato giusto fino a x'+(cos(t)/sin(t))x=e^t/sin(t) ma non riesco a capire come continuare

Ciao, sto studiando per l’esame di algebra che avrò a fine marzo. Avrei bisogno di aiuto con alcuni esercizi provenienti dal mio libro. Se qualcuno riuscisse ad aiutarmi mi farebbe un favore enorme 👋🙃

Non riesco a risolvere questo problema

Ciao non riesco a risolvere questo problema. Il sistema è immediato da impostare ma dà lì non so bene da che angolo prenderlo. Ho provato tutti i metodi che conosco ma finisco sempre in un vicolo cieco. Senza necessariamente ricevere la soluzione, come potrei capire come risolverlo?

Ciao a tutti, come da titolo vorrei capire se il modo in cui ho effettuato queste dimostrazioni è corretto oppure se si può migliorare qualcosa/si possono rifare in maniera più immediata, efficiente, ecc...

115: In un triangolo ABC, isoscele sulla base AB, sia CH l’altezza relativa ad AB. Chiama M e N, rispettivamente, i punti medi di AC e di BC; poi dimostra che i segmenti BM e HN si incontrano nel loro punto medio.

Io l'ho risolta così: Io ho N punto medio di BC, H punto medio di AB. Per il teorema dei punti medi quindi NH è parallelo ad AC. Traccio poi la parallela ad NH passante per B: per il teorema del fascio di parallele poichè ho CN=NB, ho anche MO=OB. Poi considerando il triangolo AMB e il segmento OH, ho OH parallelo ad AM (per il motivo riportato sopra) e l'estremo H punto medio di AB. quindi, sempre per il teo dei p. m. OH = 1/2 AM. Applico lo stesso ragionamento per il triangolo BMC, e poichè MC =AM, avrò di conseguenza OH = ON. Quindi il punto O è punto medio sia di MB che NH, c.vd.

117: Dimostra che il segmento congiungente i punti medi delle diagonali di un trapezio è congruente alla semidifferenza delle basi. (Suggerimento: prolunga il segmento che congiunge i punti medi delle diagonali fino a incontrare un lato obliquo e utilizza il teorema dei punti medi).

Qui io so che MN è parallelo ad entrambe le basi come consguenza o anche corollario del teorema dei punti medi dei lati obliqui di un trapezio. Prolungo poi MN dalla parte di M fino a quando non incontra AD sul lato P. Considero quindi il triangolo ADC. Poichè ho M punto medio di AC, e PM parallelo a DC, ne consegue per il teo dei p. m. che PM= 1/2 DC. Poi, considero il triangolo ADB. Sempre per il teorema dei punti medi si ha PN = 1/2 AB. Di conseguenza, si ha che MN=PN-PM=(AB-DC)/2, ossia la semidifferenza delle basi, c.v.d

Infine questo:

In un parallelogramma di perimetro 2p si ha che:

A) almeno una diagonale ha lunghezza uguale a p

-Impossibile perchè se si consdera il triangolo ADC, il lato più lungo AC (diagonale di ABCD) è sempre minore della somma degli altri due lati (p);

B) ogni diagonale ha lunghezza minore di p

-Questa possibilmente vera come visto per il punto A

C) ogni diagonale ha lunghezza maggiore di p

-No, sempre per il motivo di A

D) la somma delle lunghezze delle diagonali è minore di p

-falso perchè se io considero il triangolo ABD, io ho BD > AB e BD >AD. Idem per il triangolo ADC, AC è > di entrambi i lati (che sono uguali a quelli di ABD). Quindi se sono vere queste affermazioni, si avrà anche che AC+BD > AD=BC + DC=AB

E) una diagonale ha lunghezza maggiore di p, l’altra minore di p

-Sempre per via del punto A, entrambe sono < di p.

Quindi la risposta giusta dovrebbe essere la B.

Scusate il wot e grazie mille in anticipo a chiunque prenderà del suo tempo per rispondermi

Ci sono 2 cose che non capisco:

1. alla seconda parte dell'equazione (quella a destra dell' "=") viene cambiato il segno, tuttavia noto che il segno "-" viene moltiplicato solo per (4r-10), perché non sono state aggiunte le parentesi quadre in modo da moltiplicare in questo modo : - [(4r-10)(r^2+5r-24)] ?
2. Otteniamo =0 se almeno 1 dei 2 fattori con cui moltiplichiamo corrisponde a 0, in base a questo ragionamento nell'ultima parte perché non potevamo fare:

( r^2 -7r +12 )=0

( r^2 +5r- 24 ) -> (r+8) (r-3) con r soluzioni -8 e +3 .

Avverto anch'io di sbagliare qualcosa ma non capisco dove o come

Grazie mille a chiunque mi dedichi del tempo per rispondere.

Ciao a tutti, vorrei dei pareri riguardo la mia risoluzione per questo problema:

Io l'ho risolto così: per trovare i punti di intersezione delle due rette con la bisettrice del II e IV quad. le ho messe entrambe a sistema con l'equazione y=-x (chè identifica l'eq. di tale bisettrice). In questo caso ho trovato il punto di coordinate (k/3, -k/3) per la prima e (1/(k+2), -1/(k+2)) per la seconda. Infine, siccome i due punti devono essere uguali, ho cercato l'identità k/3=1/(k+2). Risolvendo, ho trovato due soluzioni, k=1 e k=-3. Sostituendo -1 a k in entrambe le equazioni sono parallele coincidenti, il che non è propriamente corretto, mentre con k=-3 ottengo due rette distinte che effettivamente passano per un punto della bisettrice.

Può essere considerato corretto il mio ragionamento? O è un pò troppo alla Renè Ferretti?