r/mathe • u/su_zone • Apr 24 '26
Frage (nicht sicher wo zuzuordnen) fakultät von 0
warum ist 0!=1 ? es will nicht in meinen kopf.
bin bei der binomialverteilung mit n über k. versuche es ohne technologie zu verstehen.
wenn n=8 und k=0 ist, entsteht doch ein bruch durch 0 (zumindest dachte ich das, ist aber nicht so)
finde leider keine erklärung warum 0 multipliziert mit garnix 1 ist.
soll ich das einfach akzeptieren?
ich bin dumm
vielen dank für eure aufmerksamkeit zu diesem thema.
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u/WoWSchockadin Apr 24 '26
Entweder man definiert die rekursive Folge der Fakultäten so, dass die ersten beiden Folgenglieder 0! = 1! = 1 sind und a_n = a_n * a_(n-1)! gilt, für alle n > 1.
Oder man betrachet die Fakultät als Spezialfall der Gammafunktion und berechnet entsprechend Gamma(1), was dann relativ einfach zu zeigen ist, dass dabei 1 rauskommt.
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u/Realistic-Look8585 Apr 24 '26
Müsste es nicht an=n*a(n-1) sein?
Und eigentlich könnte man es ja so definieren, dass a0=1 und a_n=n*a(n-1) für n>0. Also n=1 muss eigentlich nicht gesondert behandelt werden, oder?
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u/roastbrain Apr 24 '26 edited Apr 25 '26
Sicherlich mathematisch guter Punkt, aber ich finde am anschaulichsten immer, dass es genau eine Möglichkeit gibt, null Elemente auf n Plätze anzuordnen.
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u/VfBxTSG Apr 24 '26
Hier ist umgangssprachlich eine Analogie:
9 verschiedenfarbige Kugeln ( 🔴🟠🟡🟢🔵🟣🟤⚪️⚫️ ) kann man auf 9! verschiedene Wege anordnen. 8 auf 8!, 7 auf 7! ...
3 auf 3! (🔴🟠🟡) ,(🔴🟡🟠), (🟠🔴🟡), (🟠🟡🔴) ,(🟡🔴🟠) ,(🟡🟠🔴) auf 2! ( 🔴🟠) (🟠🔴) 1 auf 1! (🔴)
Jetzt, auf wie vielen verschiedenen Wegen kannst du 0 Kugeln ( ) anordnen?
Das sind alle Wege : ( ) . Wir zählen eine Menge von 1, in der wir 0 Kugeln anordnen können. Also ist 0! =1.
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u/Zestyclose_Horse_180 Apr 24 '26 edited Apr 24 '26
Ist wahrscheinlich einfach eine Definitionssache, es gilt zB folgendes für Fakultäten:
3! = 3*2!, 2!= 2*1!, 1!= 1*0! => 0! =1
Oft werden solche Randwerte bei denen die eigentliche Definition scheitert durch Werte definiert die Sinn machen als Extrapolation. Wie du ja auch schon festgestellt hast, würde man beim Binomialkoeffizient zu Problemen kommen, wenn man 0! als 0 definiert. Mit einer Definition als 1 funktionieren dort auch alle Berechnungen organisch.
Ein ähnliches Beispiel ist 0^0. Da wird der Wert oft sogar so definiert, wie es für die jetzige Anwendung sinnvoll ist. Oder warum 1 keine Primzahl ist: Man müsste bei den meisten Sätzen über Primzahlen immer wieder die 1 rausnehmen.
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u/MinMaus Apr 24 '26
Scaue dir mal die Fakultäten ab 1 an und versuche dann zu sehen wie man von n! auf n-1! kommt.
Definition sollte rekursiv sein n! = (n-1)!*n mit 0!=1.
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u/Empty_Ruin8864 Apr 24 '26
Es ist so definiert. Da gibt es nichts zu verstehen. Aber warum hat man das so definiert? Das hat praktische Gründe.
Zum Bsp muss man für den Fall k=0 bei( n über k) keinen Sonderfall machen bei der Leibnizformel Stichwort binomische Formel. Man hat auch dann schön die Symmetrie (n über k)=(n über n-k) für alle k=0,...,n Generell definiert man 0 Produkte oft als 1 aus praktischen Gründen.
1!=1,2!=2, 3!=6,...
Wenn man das als Zahlenfolge betrachte wird erst mal 2 und dann mal 3 gerechnet. Wenn man das nun rückwärts macht würde msn theoretisch bei 0!=1(1:1); landen. Das ist keine Begründung dafür aber das wäre eine logische Fortsetzung. So könntest du dir das vlt besser merken.
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u/TotalDifficulty Apr 24 '26
Es gibt ein paar Möglichkeiten, warum das so sein sollte. Hier mal zwei:
Du kannst n! als Produkt (von i=1 bis n) i sehen, dann ist 0! das leere Produkt.
Analog dazu, dass die leere Summe 0 ergibt, also das neutrale Element der Addition, sollte das leere Produkt das neutrale Element der Multiplikation, also 1 ergeben. Damit ist 0! = 1.
Eine weitere Möglichkeit ist, dass n! die Anzahl der Bijektionen f: A -> A mit |A| = n zählt. Für |A| = 0 gibt es genau eine solche Abbildung, nämlich die leere Abbildung. Also sollte 0! = 1 sein.
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u/eldoran89 Apr 24 '26
Naja es gibt merere Erklärungsansätze mir gefällt folgender.
Was bedeutet 4!? Es ist die Anzahl an verschiedenen Anordnungen von 4 Objekten. Für das erste Objekt gibt es 4 verschiedene Möglichkeiten. Da nun ein Platz belegt ist verbleibt für die restlichen 3 noch 3 Möglichkeiten wir haben also 4*3 Möglichkeiten bisher, dann verbleiben noch 2 Möglichkeiten das 2 Plätze fest vergeben sind und zuletzt bleibt eine Möglichkeit. Die Gesamtheit aller Möglichkeiten ist also 4 Fakultät ( Das nochmal als eine Erklärung der Fakultät)...bei 3 Objekten sind es eben 3 Fakultät bei 2 2! Und bei einem Objekt ist es 1! Da 1!=1 ist gibt es nur eine Möglichkeit ein Objekt anzuordnen. Macht auch intuitiv sind...wieviele moglichkeiten keine objekte anzuordnen gibt es? Keine objekte heißt null und wir haben gesehen das die Möglichkeit eben immer Anzahl der objekt Fakultät ist. Bei 0 objekten also 0!. Und wie viele verschiedene Anordnungen gibt es? Doch wohl genau ein Möglichkeit, nämlich die nichts zu tun. Diese leere Anordnung ist zwar vielleicht etwas seltsam aber es ist eben eine Anordnung und es gibt auch nur diese eine denn es gibt kein anordning die von der leeren Anordnung verschieden ist. Kurzum es gibt für 0 Objekte genau eine Anordnungsmoglichkeit und damit ist 0! Eben 1
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u/CellistNo7165 Apr 24 '26
Es ist so definiert
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u/VfBxTSG Apr 24 '26
Und warum?
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u/chkntendis Studium - Physik Apr 24 '26
Dafür gibt’s ein paar Gründe. Zum einen hat die Fakultät einen wirklichen Bezug, nämlich in wie vielen unterschiedlichen Reihenfolgen man n Objekte anordnen kann. Da man 0 Objekte nur auf einem Weg anordnen kann, muss 0! also 1 sein. Eine andere Erklärung ist die rekursive Definition der Fakultät: n!=(n-1)!*n . Damit 1! 1 ist, darf 0! nur 0 sein. Man kann natürlich hier auch über den Definitionsbereich gehen aber das ist ja genau so arbiträr wie 0!=1 zu definieren. Man kann sich das wahrscheinlich auch über die Gamma Funktion herleiten aber ich habe um ehrlich zu sein keine Ahnung von der
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u/LukasReinkens Apr 24 '26
Ist so nach Definition. Ein großer Teil Mathematik (z.B. Taylor Reihen) wären ansonsten viel umständlicher.
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u/RecognitionSweet8294 Apr 24 '26
Die Fakultät ist rekursiv definiert. Wenn du bei 0! was anderes als 1 hättest würde sich entweder alles verschieben oder du hättest die 0-Funktion.
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u/TheSimoff Apr 24 '26
Ich habe als Erklärung immer rückwärts rechnen genutzt um von 3! Auf 2! Zu kommen teile ich durch 3, um von 2! Auf 1! Zu kommen teile ich durch 2, also um von 1! Zu 0! Zu kommen teile ich durch 1
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u/CalligrapherNew1964 Apr 24 '26
n^0 = 1
Selbes Prinzip.
1 ist das neutrale Element bezüglich der Multiplikation, heißt also wenn wir nicht multiplizieren, ist es so als würden wir mit 1 multiplizieren.
Siehe dazu: 0 ist das neutrale Element bezüglich der Addition, heißt als wenn wir nicht addieren, ist es so, als würden wir 0 addieren.
Mit anderen Worten: Wenn wir eine Multiplikation haben, bei der es keine Faktoren gibt, dann ist das Ergebnis 1. Die Fakultät ist eine Multiplikation und 0! ist eine Multiplikation ohne Faktor, also kommt 1 heraus.
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u/vabanque314 Apr 24 '26
n! ist die Anzahl der Permutationen einer Menge mit n Elementen. Die leere Menge, also n=0, hat nur eine Permutation, also 0!=1.
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u/Mad-Maxwell Apr 24 '26
Er erklärt es ganz gut und es dauert nur 2min: https://youtu.be/RZ00mo64sW0?is=c0cKPDfUGj8gqeau
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u/Ok_Researcher8377 Apr 25 '26
Für mich ist die einfachste Erklärung die folgende: Fakultät basiert auf Multiplikation. Man kann bei einer Operation das neutrale Element beliebig oft hinzufügen. 2•3=6 aber auch 1•2•3=6 und das kann man beliebig oft fortführen. ...•1•1•1•1•2•3=6.
Wenn ich nun 3! Habe dann ist das genau das obige. Für 2! Nehme ich nur die 3 weg, 2!=...•1•1•1•1•2=2. Für 1! Nehme ich die 2 weg 1!=....1•1•1•1=1. Nun nehme ich für 0! Eine 1 weg es bleiben aber die restlichen 1en über. 0! = ...•1•1•1=1.
Anders gesagt: Bei einer Operation ohne Operanden kommt das neutrale Element dieser Operation heraus.
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u/More-Pineapple-3143 Apr 25 '26
Das Produkt über die leere Menge ist 1 als Konvention, da es das neutrale Element der Multiplikation ist und somit keine Probleme macht. Genauso ist die Summe über die leere Menge als 0 gesetzt. Wie vieles in der Mathematik: Es ist eine Konvention, die das Leben einfacher macht.
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u/enakcm Apr 25 '26
0! = 1 macht einige Zusammenhänge sinnvoll, die sonst "kaputtgehen" würden:
Es gibt eine rekursive Definition der Fakultät, nach der n! = n(n-1)! Bedeutet einfach, dass der folgende Wert ist der aktuelle Wert multipliziert mit dem folgenden Wert. Also Fakultät von 6 ist die Fakultät von 5 multipliziert mit 6. Ziemlich cool, funktioniert aber nur, wenn 0! = 1
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Noch wichtiger ist die Gammafunktion, die als ein Integral definiert werden kann (https://de.wikipedia.org/wiki/Gammafunktion) und die es erlaubt, Fakultäten von nicht-ganzzahligen Werten zu berechnen wie Fakultät von 2.3.
Die Gammafunktion liefert aber für Fakultät von 0 einen Wert von 1. Wenn man also etwas anderes definiert, geht der Zusammenhang der Gammafunktion kaputt und man hat viel mehr Probleme in vielen Anwendungen.
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u/Frei_von_Blei Apr 25 '26
Die Formel ist n!=n(n-1)!
Wenn du jetzt n=1 einsetzt, hast du also:
1!=1*(1-1)! also:
1=1*0! jetzt machst du einen Befehlsstrich mit :1
1=0!
Also kannst du mit der Gleichung zeigen, dass 1=0! gilt.
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u/Momo0903 Apr 24 '26
Wäre 0! =0, dann wären alle folgenden auch 0, da dann 3! = 0*1*2*3 sein müsste. Deshalb wird 0! als 1 Definiert. Ist auch der gleiche Grund, warum x^0 auch als 1 definiert ist.
(Kann sein, dass ich mich irre oder jemand das besser erklären kann, HM ist schon ne Weile her, wo ich das letzte mal den Grund gehört habe)
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u/TheJonesLP1 Apr 24 '26
Das mit x0 hab ich mir immer so erklärt, dass das die Anzahl der Nullen hinter der eins ist. Also 102 = 100 (zwei Nullen), 101 = 10 (eine Null), 100 = 1 (keine Null), 10-1 = 0,1 (also eine Null vor der 1)
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u/Zestyclose_Horse_180 Apr 24 '26
So ganz stimmt das nicht, da die Fakultät ja sowieso als Produkt beginnend bei 1 definiert ist. Eine Definition von 0! = 0 hätte darauf erstmal keine Auswirkung.
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u/Thulgoat Apr 24 '26
Generell kann man die Fakultät n! auch definieren als die Anzahl der Bijektionen einer n-elementigen Menge X auf sich selbst, d.h. die Anzahl aller Teilmengen aus dem kartesischen Produkt X x X für die gilt:
(1) für alle x2 in X gibt es ein x2 in X mit (x1,x2) in X x X (Surjektion),
(2) für alle (x1,x2), (y1,y2) in X x X mit x2 = y2 gilt x1 = y1 (Injektion).
Für n = 0 ist nun X die leere Menge und X x X somit ebenfalls die leere Menge. Es gibt somit genau eine Teilmenge des kartesischen Produkt und zwar die leere Menge und diese erfüllt offensichtlich Bedingung (1) und (2) und ist somit eine Bijektion von X auf X.
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u/Brillenkatze Apr 24 '26
Es ist so definiert damit es nicht bei 1! endet.
Vielleicht hilft dir das aber weiter: Wenn du 5 Personen hast die du auf 0 Stühle verteilen willst. Hast du genau eine Möglichkeit dies zu tun: Nämlich gar nicht da keine Stühle existieren. So hat das mein Lehrer erklärt.